Çift kefeli terazi ile tartımda elimizdeki ağırlıkların hem toplamlarını hem de farklarını tartabiliriz. Soruyu önce cisimleri tam olarak tartacağımız ağırlıkları bulacağımız şekilde çözelim.
Eğer elimizde tek ağırlık olunca çözüm kola. 1 kg tartabilmemiz gerekeceğinden elimizdeki ağırlık da 1 kg olmalı. Daha yüksek ağırlıkları bununla tartamayız.
İki ağırlığımız olduğu durumda acaba ikinci ağırlık ne olabilir? İkinci ağırlığın değerine $a$ diyelim ve $a>1$ olduğunu kabul edelim. Bu durumda çift kefeli terazi ile tartabileceğimiz ağırlıklar $1, a, a-1, a+1$ olacaktır. Teraziyi en verimli şekilde kullandığımızda bu ağırlıkların hepsi birbirinden farklı olacaktır ve $1$'den $a+1$'e kadar her ağırlığı tartabiliriz. Bu şartlar sağlandığında $a+1=4 \implies a=3$ olacaktır. Bu iki ağırlıkla tartabileceğimiz ağırlıkları bir tabloda gösterelim (Cismin sol kefede olduğunu var sayalım).
| Cisim | Sol kefe | Sağ kefe |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | |
| 4 | $3 + 1 = 4$ |
Şimdi üç ağırlıklı çözüm için üçüncü ağırlığı bulalım. Üçüncü ağırlığa $b$ diyelim ve $b>3$ olduğunu var sayalım. Bir önceki çözümde olduğu gibi olası ağırlıkları yazalım ve bu ağırlıkları problem için en verimli şekilde tartacak $b$ değerini bulalım.
$b, b-1, b-(3-1) = b-2, b-3, b - (3+1) = b-4, b+1, b+(3-1) = b+2, b+3, b+(3+1) = b+4$
Bu dokuz ağırlık da birbirinden farklı olmalı ve en küçük değer $b-4 = 5$ kg olmalı, çünkü 2 ağırlıkla en fazla 4 kg tartabilmiştik. Bu durumda $b=9$ kg buluruz. Üç ağırlık için tartım tablosu (yeni ağırlıklar için yani 5 kg'dan itibaren) aşağıdaki gibidir.
| Cisim | Sol kefe | Sağ kefe |
| 5 | $1+3=4$ | 9 |
| 6 | 3 | 9 |
| 7 | 3 | $9+1=10$ |
| 8 | 1 | 9 |
| 9 | 9 | |
| 10 | $9+1=10$ | |
| 11 | 1 | $9+3=12$ |
| 12 | $9+3=12$ | |
| 13 | $9+3+1=13$ |
Bu adımdan sonra genel çözüm yöntemi biraz belirginleşmiş oldu. Bilinen ağırlıklara daha büyük bir ağırlık ekliyoruz. Bu yeni ağırlıkla eskilerini kullanarak kaç tane yeni ağırlık hesaplayabileceğimizi buluyoruz. Bir önceki adımda ulaşılan toplama bulduğumuz adedi ekliyoruz ve böylece ulaşabileceğimiz maksimum toplamı buluyoruz. Tartabileceğimiz yeni ağırlıkların adedini şöyle bulabiliriz. Bir kere yeni ağırlığımız var. Bu ağırlığa $x$ diyelim. Eski ağırlıklarla ulaşabildiğimiz en yüksek ağırlığa da $T$ diyelim. O zaman $x-T$'den $x+T$'ye kadar her tamsayıyı tartabiliriz. Yukarıdaki tablolar dikkatlice incelenirse bu kolayca görülebilir. $x+T$ için kullanılan ağırlıklar aynen $x-T$ tartıları için de kullanılıyor ama yapılan tek şey eski ağırlıklar karşıt kefelere konuluyor. O zaman her yeni ağırlık için $2 \cdot T + 1$ yeni cisim ağırlığı tartabiliyoruz. Bu noktada yazının sonunda kullanacağım bir özelliğe işaret etmek istiyorum. Seçeceğimiz yeni ağırlık önceki ağırlıklarla ulaşılabilen maksimum ağırlıkla yeni maksimum ağırlığın ortasındadır.
$x + T = T + 2\cdot T + 1 = 3 \cdot T + 1 \implies x = \frac {1}{2} \cdot (T + (3 \cdot T + 1) + 1)$
Şimdi tartılabilecek maksimum ağırlık için bir formül bulalım. Bu değeri $T_{n}$ ile gösterelim. Burada $n$ alt indisi kullanılan ağırlık adedini gösteriyor. Yukarıdaki analizi kullanarak şöyle bir denklem yazabiliriz.
$T_{n+1} = T_{n} + 2 \cdot T_{n} + 1 = 3 \cdot T_{n} + 1$ (1)
$A(x) = \sum {a_{n} \cdot x^n}$ olsun (2)
(1)'in iki tarafını da $x^n$ ile çarpalım.
$T_{n+1} \cdot x^n = 3 \cdot T_{n} \cdot x^n + x^n$ (3)
(2)'nin iki tarafını da negatif olmayan $n$ değerleri için toplayalım. Bu sırada $T_{0} = 0$ var sayalım, ne de olsa ağırlık yoksa tartım da yoktur.
$\sum T_{n+1} \cdot x^n = \sum {3 \cdot T_{n} \cdot x^n + x^n}$ (4)
$\sum {T_{n+1} \cdot x^n} = T_{1} + T_{2} \cdot x + T_{3} \cdot x^2 + ...$
$ = \frac {(T_{0} + T_{1} \cdot x + T_{2} \cdot x^2 + ...) - T_{0}}{x}$
$ = \frac {A(x)}{x}$
(2)'yi (3)'ün sağ tarafına yerleştirdiğimizde
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \sum {x^n}$ çıkar.
En sağdaki toplam için de yakınsak geometrik seri değerini yazarsak
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \frac {1}{1-x}$ çıkar.
Buradan da
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \frac {1}{1-x} \implies A(x) = \frac{x}{(1-x) \cdot (1-3x)}$ elde ederiz.
Sağ taraftaki kesiri iki kesir toplamı şekline çevirelim.
$A(x) = x \cdot (\frac {1}{2} \cdot \frac {3}{1-3x} - \frac{1}{2} \cdot \frac {1}{1-x})$
Şimdi bu kesirleri sonsuz bölerek açarsak
$A(x) = \frac {x}{2} \cdot ((3 + 9x + 27x^2 + ...) - (1 + x + x^2 + ...)) =
\frac {1}{2} \cdot ((3x + 9x^2 + 27x^3 + ...) - (x + x^2 + x^3 + ...))$
Buradan da her $x^n$ teriminin katsayısının $\frac {1}{2} \cdot (3^n - 1)$ olacağını görürüz.
Demek ki $T_{n} = \frac {1}{2} \cdot (3^n - 1)$ (5)
Bu formülü 4 ağırlık için kullanırsak ölçebileceğimiz maksimum ağırlık için $T_{4} = \frac {1}{2} \cdot (3^4 - 1) = \frac {1}{2} \cdot (81 - 1) = \frac {1}{2} \cdot 80 = 40$ elde ederiz.
Eğer cismin ağırlığını tam ölçmek istersek ulaşabileceğimiz maksimum ağırlık 40 kg olacaktır. Çift kefeli terazi ile daha iyisini yapabilir miyiz? Elbette. Kullanacağımız mantık oldukça basit. Örneğin cismin ağırlığı 10 kg'dan ağır ama 12 kg'dan hafif ise soruya göre 11 kg olmak zorundadır. Çift kefeli terazi işe eşitsizlikleri ölçebileceğimizden 11 kg'ı tam ölçmek zorunda değiliz. Şimdiye kadar 1 kg'dan 40 kg'a kadar bütün ağırlıkları tam olarak tartabildik. Elimizdeki ağırlıkların hepsini 2 ile çarparsak 2 kg'dan 80 kg'a kadar bütün çift sayılı ağırlıkları tam tartabiliriz. Tek sayılı ağırlıkları ise eşitsizlikleri kullanarak bulabiliriz. Burada dikkat edilecek tek şey tam ölçemediğimiz her aralığın en fazla bir tamsayı değeri içermesi gerekliliği. Aksi durumda eşitsizlikten kesin bir sonuç çıkaramayız.
$x + T = T + 2\cdot T + 1 = 3 \cdot T + 1 \implies x = \frac {1}{2} \cdot (T + (3 \cdot T + 1) + 1)$
Şimdi tartılabilecek maksimum ağırlık için bir formül bulalım. Bu değeri $T_{n}$ ile gösterelim. Burada $n$ alt indisi kullanılan ağırlık adedini gösteriyor. Yukarıdaki analizi kullanarak şöyle bir denklem yazabiliriz.
$T_{n+1} = T_{n} + 2 \cdot T_{n} + 1 = 3 \cdot T_{n} + 1$ (1)
$A(x) = \sum {a_{n} \cdot x^n}$ olsun (2)
(1)'in iki tarafını da $x^n$ ile çarpalım.
$T_{n+1} \cdot x^n = 3 \cdot T_{n} \cdot x^n + x^n$ (3)
(2)'nin iki tarafını da negatif olmayan $n$ değerleri için toplayalım. Bu sırada $T_{0} = 0$ var sayalım, ne de olsa ağırlık yoksa tartım da yoktur.
$\sum T_{n+1} \cdot x^n = \sum {3 \cdot T_{n} \cdot x^n + x^n}$ (4)
$\sum {T_{n+1} \cdot x^n} = T_{1} + T_{2} \cdot x + T_{3} \cdot x^2 + ...$
$ = \frac {(T_{0} + T_{1} \cdot x + T_{2} \cdot x^2 + ...) - T_{0}}{x}$
$ = \frac {A(x)}{x}$
(2)'yi (3)'ün sağ tarafına yerleştirdiğimizde
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \sum {x^n}$ çıkar.
En sağdaki toplam için de yakınsak geometrik seri değerini yazarsak
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \frac {1}{1-x}$ çıkar.
Buradan da
$\frac {A(x)}{x} = 2 \cdot A(x) + \frac {1}{1-x} \implies A(x) = \frac{x}{(1-x) \cdot (1-3x)}$ elde ederiz.
Sağ taraftaki kesiri iki kesir toplamı şekline çevirelim.
$A(x) = x \cdot (\frac {1}{2} \cdot \frac {3}{1-3x} - \frac{1}{2} \cdot \frac {1}{1-x})$
Şimdi bu kesirleri sonsuz bölerek açarsak
$A(x) = \frac {x}{2} \cdot ((3 + 9x + 27x^2 + ...) - (1 + x + x^2 + ...)) =
\frac {1}{2} \cdot ((3x + 9x^2 + 27x^3 + ...) - (x + x^2 + x^3 + ...))$
Buradan da her $x^n$ teriminin katsayısının $\frac {1}{2} \cdot (3^n - 1)$ olacağını görürüz.
Demek ki $T_{n} = \frac {1}{2} \cdot (3^n - 1)$ (5)
Bu formülü 4 ağırlık için kullanırsak ölçebileceğimiz maksimum ağırlık için $T_{4} = \frac {1}{2} \cdot (3^4 - 1) = \frac {1}{2} \cdot (81 - 1) = \frac {1}{2} \cdot 80 = 40$ elde ederiz.
Eğer cismin ağırlığını tam ölçmek istersek ulaşabileceğimiz maksimum ağırlık 40 kg olacaktır. Çift kefeli terazi ile daha iyisini yapabilir miyiz? Elbette. Kullanacağımız mantık oldukça basit. Örneğin cismin ağırlığı 10 kg'dan ağır ama 12 kg'dan hafif ise soruya göre 11 kg olmak zorundadır. Çift kefeli terazi işe eşitsizlikleri ölçebileceğimizden 11 kg'ı tam ölçmek zorunda değiliz. Şimdiye kadar 1 kg'dan 40 kg'a kadar bütün ağırlıkları tam olarak tartabildik. Elimizdeki ağırlıkların hepsini 2 ile çarparsak 2 kg'dan 80 kg'a kadar bütün çift sayılı ağırlıkları tam tartabiliriz. Tek sayılı ağırlıkları ise eşitsizlikleri kullanarak bulabiliriz. Burada dikkat edilecek tek şey tam ölçemediğimiz her aralığın en fazla bir tamsayı değeri içermesi gerekliliği. Aksi durumda eşitsizlikten kesin bir sonuç çıkaramayız.
Son olarak seçilmesi gereken yeni ağırlığı bulmak için de bir formül bulalım. Seçilecek yeni ağırlığın eski maksimum ağırlık ile yeni maksimum ağırlığın ortasında olduğunu belirtmiştim. Şimdi bunu yukarıda bulduğumuz (5) sonucunu kullanarak yazalım. $n$. ağırlığı $x_{n}$ ile gösterelim.
$x_{n} = \frac {1}{2} \cdot (T_{n-1} + T{n} + 1) = \frac {1}{2} \cdot (\frac {1}{2} \cdot (3^{n-1} - 1) + \frac {1}{2} \cdot (3^n - 1) +1 )= \frac {1}{4} \cdot 4 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$
Demek ki seçilecek en iyi ağırlıklar üçün kuvvetleri olmalı: 1, 3, 9, 27, ...
Çift kefeli terazi ile üçlük sayı sistemi arasında oldukça yakın bir ilişki var.
$x_{n} = \frac {1}{2} \cdot (T_{n-1} + T{n} + 1) = \frac {1}{2} \cdot (\frac {1}{2} \cdot (3^{n-1} - 1) + \frac {1}{2} \cdot (3^n - 1) +1 )= \frac {1}{4} \cdot 4 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$
Demek ki seçilecek en iyi ağırlıklar üçün kuvvetleri olmalı: 1, 3, 9, 27, ...
Çift kefeli terazi ile üçlük sayı sistemi arasında oldukça yakın bir ilişki var.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder