16 (Çözüm)

Önce bir kaç kısa tanım:

Çift sayı: İkiye tam olarak bölünen tamsayı. Bu sayılar $2k$ ($k$ bir tamsayı) şeklinde yazılabilir.

Tek sayı: İkiye tam olarak bölünmeyen tamsayı. Bu sayılar $2k+1$ ($k$ bir tamsayı) şeklinde yazılabilir.

Şimdi de kolayca görülebilecek birkaç özellik:

Bir tamsayı ya tek ya da çifttir. 

İki çift sayının toplamı çifttir ( $2k + 2m = 2(k+m) = 2n$).

İki tek sayının toplamı çifttir ( $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1) = 2n$).

Bir tek ve bir çift sayının toplamı tektir ( $(2k+1) + 2m = 2(k+m) + 1 = 2n+1$).

Bir çift ve bir tek sayının toplamı tektir ( $2m + (2k+1) = 2(m+k) + 1 = 2n+1$).

Bu özellikler çıkarma işlemi altında da değişmez.

Şimdi bu bilgileri kullanarak bir tablo yapalım ve Ayşe'nin ne demek istediğini bulalım.

Toplam = 16	Ayşe	Banu	Ceren
Çift	Çift	Tek	Tek
Çift	Çift	Çift	Çift
Çift	Tek	Tek	Çift
Çift	Tek	Çift	Tek

Ayşe'nin sayısı çift olsaydı Banu'nun ve Ceren'in sayıları aynı türden olacaktı. Aynı türden olan iki sayı aynı da olabilir. Ayşe iki sayı kesinlikle farklı dediğine göre Ayşe'nin sayısı tek olmalı.

Şimdi Banu'nun dediğine bakalım. Üç sayının da birbirinden farklı olduğunu Ayşe daha bir şey demeden bildiğine göre öncelikle Ayşe için yürüttüğümüz mantığa göre kendi sayısı tek olmalı. Yukarıdaki tabloda Banu'nun tek sayısı olduğu satırlara bakarsak bir kişinin daha tek sayısı olmalı. Peki Banu kendi sayısının diğer tek sayıdan farklı olduğunu kesin olarak nasıl biliyordu? 

Eğer Banu'nun sayısı toplamın yarısından ($\frac{16}{2} = 8$) küçük olsaydı diğer tek sayı da aynı olabilirdi. Bu durumda toplamlar hala 16 edebilirdi. Demek ki Banu'nun sayısı 8'den büyükmüş.

Şimdi buraya kadar aynı mantığı kullanmış olan Ceren'in sayıları nasıl bulabildiğine bakalım. Önce olası üçlüleri yazalım.

Ayşe	Banu	Ceren
1	9	6
1	11	4
1	13	2
3	9	4
3	11	2
5	9	2

Yukarıdaki tabloda olası üçlülerden biri kırmızı renkte gösterildi çünkü eğer Banu'nun sayısı 13 olsaydı sıra kendisinde olduğunda bütün sayıları bilecekti. Ayşe'nin sayısının tek olduğunu biliyordu ve bu şartlar altında toplam 16 edecek şekilde tek bir üçlü var. Bu kırmızı satırı göz ardı ettiğimizde Ceren için beş olasılık kalıyor. Bu olasılıklara baktığımızda ise şunu görüyoruz: Ceren'in sayısı 2 ya da 4 olsaydı diğer sayılar için ikişer olasılık olacaktı ve Ceren bu üçlülerin hangisinin doğru olduğunu kesin olarak bilemeyecekti. Sadece Ceren'in sayısı 6 olduğunda aranan üçlünün hangisi olduğu kesin söylenebiliyor. Demek ki aranan üçlü tablodaki yeşil satırmış.

Tabii kı sınıftaki hemen hemen herkes bu cevabı vermiş, Devlet dışında. 40 sonucuna nasıl ulaştığını öğretmeni bile anlamamış.