Dayanıklılık testi (Çözüm)

Önce biraz ön inceleme yapalım. İlk küre birinci denemede kırılırsa ikinci küre birinci kattan ilk denemedeki kata kadar her katı denemelidir. İlk küre ikinci denemede kırılırsa ikinci küre birinci denemedeki kattan ikinci denemedeki kata kadar her katı denemelidir. 

Deneme sıralarını alt indislerle gösterelim. Her denemenin yapıldığı katı da $n_{i}$ ile. Yani birinci denemenin yapıldığı kat $n_{1}$ ikinci denemenin yapıldığı kat $n_{2}$ şeklinde gösterilecek. $n_{0} = 1$ olduğunu kabul edelim. Birinci küre kırılmadığı sürece $n_{i}$ değerleri için şu eşitsizlik geçerlidir:

$j > i \implies n_{j} > n_{i}$ çünkü küre kırılmadığı sürece daha yukarı bir kata çıkabiliriz. 

Birinci küre $i.$ adımda kırılırsa o zaman ikinci küreyi en kötü ihtimalle $n_{i} - n_{i-1}$ kere kullanmamız gerekecek, çünkü aradaki katların hepsini tek tek denemek gerekecek. Bu durumda toplam deneme sayısı $i + n_{i} - n_{i-1}$ olacaktır. Bu son formüle dikkatlice bakarsak maksimum deneme sayısını sabit tutmak için $n_{i}-n_{i-1}$ farkının her adımda bir küçülmesinin yeterli olacağını görülür, çünkü $i$ değeri her adımda bir artmaktadır. Bu farkların azalması özelliğini birinci kürenin kırılmadığı duruma uygularsak da $n_{1} + (n_{1} - 1) + (n_{1}-2) + ... + 1  = \frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}  \ge 100$ eşitsizliği çıkar. Bu eşitsizliği çözersek de $n_{1} = 14$ sonucuna ulaşılır. Bu sonuç hem ilk denemeyi yapacağımız kat numarasını hem de maksimum  deneme adedini vermektedir.

Bu çözüme göre yapılacak deneme katları şunlardır: Birinci küre kırılmadığı sürece

$n_{1} = 14$

$n_{2} = 27$

$n_{3} = 39$

$n_{4} = 50$

$n_{5} = 60$

$n_{6} = 69$

$n_{7} = 77$

$n_{8} = 84$

$n_{9} = 90$

$n_{10} = 95$

$n_{11} = 99$

$n_{12} = 100$

Birinci küre örneğin ilk denemede kırılırsa da ilk 13 kat teker teker denenmelidir.

Bu analizler sonunda $N$ katlı bir bina ve 2 küre için çözüm yukarıdaki gibi. Yapılacak tek şey $\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}  \ge N$ eşitsizliğini çözmek.

3 ve daha genel olan $m$ küre için analizleri başka bir yazıya bırakıyorum.