Mantıkla alışveriş

Büyük bir büyücü oldukça zeki olan çırağını ihtiyacı olan malzemeleri aldırmak için ortaçağ pazarına göndermiştir. Çırak büyücüden alışveriş için para istediğinde de istediği şeylerin parayla alınamayacağını ama kendisinin malzemeleri alabileceğine inandığını söylemiş. Çırak önce durumu anlamadıysa da ünlü bir büyücü olan ustasının bildiği bir şeyler vardır diyerek pazar yerine inmiş. 

Listedeki ilk malzeme çok ender bulunan bir örümcekmiş. Örümcek satıcısının tezgahına varmış ve satıcıya "bir adet microhexura montivaga arıyorum, sizde bulunur mu?"  diye sormuş. Satıcı da "Hatta iki adet var ama almak için bir oyun oynayıp kazanman lazım" demiş ve oyunun kurallarını anlatmaya başlamış:

"Tezgahta gördüğün üç şişenin ikisinin içinde birer adet aradığın örümcekten var. Gördüğün gibi şişelerin içlerini göremiyorsun ama ben hangi şişelerde örümcek olduğunu biliyorum. Bu şişelerden birini gösterip bana evet ya da hayır ile cevaplayacağım bir soru soracaksın. Eğer gösterdiğin şişede örümcek varsa sana doğru cevap vereceğim. Eğer şişe boş ise rastgele evet ya da hayır diyeceğim. Sonra şişelerden istediğini alacaksın. Eğer örümceklerden birini bulursan iyi bir alışveriş yapmış olacaksın."

Çırak düşünme için biraz zaman kazanmak amacıyla listedeki diğer örümceği sormuş.  "Bir adet de latrodectus katipo arıyorum." Satıcı yüzünü biraz buruşturmuş ve "Ondan sadece bir tane kaldı ne yazık ki. Bu nedenle almak için başka bir oyun oynamamız lazım." demiş ve kuralları anlatmış:

"Demin anlattığım oyuna çok benziyor aslında. Bu sefer üç şişe ve sadece birinde örümcek var. Şişelerden birini gösterip evet ya da hayırla cevaplayabileceğim bir soru soracaksın. Eğer içinde örümcek varsa rastgele doğru ya da yalan cevap vereceğime karar vereceğim ve sorunu buna göre cevaplayacağım. Eğer şişe boş ise soruna doğru cevap vereceğim. Sonra şişelerden istediğin biri senindir."

Çırak büyücünün yanına döndüğünde alışverişin ne kadarını yapabilmişti ve nasıl?

Dayanıklılık testi (Çözüm)

Önce biraz ön inceleme yapalım. İlk küre birinci denemede kırılırsa ikinci küre birinci kattan ilk denemedeki kata kadar her katı denemelidir. İlk küre ikinci denemede kırılırsa ikinci küre birinci denemedeki kattan ikinci denemedeki kata kadar her katı denemelidir. 

Deneme sıralarını alt indislerle gösterelim. Her denemenin yapıldığı katı da $n_{i}$ ile. Yani birinci denemenin yapıldığı kat $n_{1}$ ikinci denemenin yapıldığı kat $n_{2}$ şeklinde gösterilecek. $n_{0} = 1$ olduğunu kabul edelim. Birinci küre kırılmadığı sürece $n_{i}$ değerleri için şu eşitsizlik geçerlidir:

$j > i \implies n_{j} > n_{i}$ çünkü küre kırılmadığı sürece daha yukarı bir kata çıkabiliriz. 

Birinci küre $i.$ adımda kırılırsa o zaman ikinci küreyi en kötü ihtimalle $n_{i} - n_{i-1}$ kere kullanmamız gerekecek, çünkü aradaki katların hepsini tek tek denemek gerekecek. Bu durumda toplam deneme sayısı $i + n_{i} - n_{i-1}$ olacaktır. Bu son formüle dikkatlice bakarsak maksimum deneme sayısını sabit tutmak için $n_{i}-n_{i-1}$ farkının her adımda bir küçülmesinin yeterli olacağını görülür, çünkü $i$ değeri her adımda bir artmaktadır. Bu farkların azalması özelliğini birinci kürenin kırılmadığı duruma uygularsak da $n_{1} + (n_{1} - 1) + (n_{1}-2) + ... + 1  = \frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}  \ge 100$ eşitsizliği çıkar. Bu eşitsizliği çözersek de $n_{1} = 14$ sonucuna ulaşılır. Bu sonuç hem ilk denemeyi yapacağımız kat numarasını hem de maksimum  deneme adedini vermektedir.

Bu çözüme göre yapılacak deneme katları şunlardır: Birinci küre kırılmadığı sürece

$n_{1} = 14$

$n_{2} = 27$

$n_{3} = 39$

$n_{4} = 50$

$n_{5} = 60$

$n_{6} = 69$

$n_{7} = 77$

$n_{8} = 84$

$n_{9} = 90$

$n_{10} = 95$

$n_{11} = 99$

$n_{12} = 100$

Birinci küre örneğin ilk denemede kırılırsa da ilk 13 kat teker teker denenmelidir.

Bu analizler sonunda $N$ katlı bir bina ve 2 küre için çözüm yukarıdaki gibi. Yapılacak tek şey $\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}  \ge N$ eşitsizliğini çözmek.

3 ve daha genel olan $m$ küre için analizleri başka bir yazıya bırakıyorum.

Dayanıklılık testi

Çapulculardan çok çekmiş olan padişahın tek eğlencesi hapise attırdığı çapulcularla oyun oynamakmış. Nazırlarının tek görevi çapulculara sorulacak sorular bulmakmış. Padişah da bu sırada kanun koyar, insanları yagılar ve cezalarını verirmiş. 

Çevre ve şehircilikten sorumlu nazır padişahın gözüne girebilmek için padişaha zor bir soru bulduğunu bildirir. Bu habere çok sevinen padişah soruyu dinler ve onayını verir. Bir sonraki infaza yetişmesi için hemen 100 katlı bir binanın inşası için emir verir.

İnfaz günü geldiğinde halk huzurunda törenlerle binanın açılışı yapılır ve hapisten getirilen  çapulcu padişahın huzuruna çıkarılır. Padişah oynayacakları oyunun kurallarını anlatmaya başlar:

"Sana aynı maddeden yapılmış birbirinin aynısı iki küre vereceğiz. Bu kürelerin ne kadar yüksekten yere düşünce hala sağlam kalabildiğini bulacaksın. Bunun için de bugün açılışını yaptığım binayı kullanacaksın.  Bir kattan küreyi aşağıya bırakacaksın ve kırılmazsa daha yukarıdaki bir kattan aynı işleme devam edebileceksin. Kırılırsa ikinci küreyle oyuna devam edeceksin. İkinci küre de kırılırsa ve doğru cevabı bulamamışsan kellen gidecek. Maksimum deneme sayısını en aza indirecek yöntemi bulursan oyunu kazanacaksın ve seni azat edeceğim. Küre kırılmadığı sürece dayanıklılığından hiçbir şey kaybetmiyor."

Çapulcu hemen denemelere başlamış ve padişahın beklediğinden çok daha kısa sürede kürelerin dayanabildiği maksimum yüksekliği bulmuş. Sonra da padişaha dönüp çözümünü anlatmış. Nazırın çözümünden daha iyi olan bu çözümü duyan padişah çok sinirlenmiş ve nazırı istifa ettirmiş.

Şimdi sıra sizde. Çapulcunun bulduğu çözümü bulun. Aynı soruyu N katlı bina için ve sonra da 100 katlı bina ve 3 küre için çözün. Zamanı kalanlar genel çözümü de bulabilir.

Zamana karşı kaçış (Çözüm)

Çözüm için önce bazı gözlemler yapalım. Tüm kaçış boyunca üç defa iki kişilik gruplar sınırın ötesine geçecek ve iki defa da birer kişi feneri geri getirecek. Çözüm olmamakla beraber aşağıdaki tabloda bunun böyle olduğunu görelim.

Adımlar	Anavatan	Sınır	Komşu ülke
Başlangıç	A,B,E,R
1. kaçış	E,R	A,B --->
1. kaçış sonu	E,R		A,B
Fener dönüyor	E,R	A <---	B
Fener döndü	A,E,R		B
2. kaçış	R	A,E --->	B
2. kaçış sonu	R		A,B,E
Fener dönüyor	R	A <---	B,E
Fener döndü	A,R		B,E
3. kaçış		A,R --->	B,E
3. kaçış sonu			A,B,E,R

İki kişilik kaçış aşamalarında gereken süre yavaş gideninki kadar olacağından her bir kaçış için olası minimum değer 2 dakika olacaktır (A ve B) ve en az bir kere de 10 dakika olacaktır çünkü R de kaçmak istiyor. O zaman üç kaçışın toplam süresi en az $10 + 2 + 2 = 14$ dakika olacaktır. Ayrıca bunun olabilmesi için E ve R beraberce bir kere beraber ve A ve B ise beraberce iki kere kaçmalı. 

Şimdi de fenerin iki kere dönüşü için gereken minimum süreye bakalım. Eğer A iki kere fenerle geri dönebilirse $2$ dakika gerekmektedir. Şimdi bunun mümkün olup olmadığına bakalım. A iki kere geri dönecekse üç kere kaçmalıdır, ilk iki seferde feneri geri getirecek ve üçüncü seferde de kendini de kurtaracak. Her üç kaçışta da iki kişiden biri A olursa diğerleri de diğer aile fertleri olmalı ve sadece kaçış için $10+5+2=17$ dakika gerekecektir. Yani feneri optimum geri getirme için kaçış süresinde $3$ dakikalık bir feda gerekecek.

Peki fenerin dönüşleri için bir sonraki en iyi ihtimale bakalım. A bir kere ve B bir kere dönerse toplam $1+2=3$ dakika gerekecek. Bu olasılığın doğru olduğunu var sayarak kaçışları planlayalım. E ve R ilk turda kaçarsa en azından E feneri getirmek için bir kere döneceğinden istediğimiz çözüm sağlanmaz. Bu çift son turda kaçmak isterse de yine E ya da R daha önceki bir turda kaçmış olmalıdır (feneri geri getirdiğinden). Bu durumda da çözüm var sayımlarımız tutmaz. O zaman kalan son ihtimali test edelim. A ve B ilk ve üçüncü turda kaçacak, E ve R ise ikinci turda. Bu çözüme bir tabloyla bakalım.

Adımlar	Anavatan	Sınır	Komşu ülke
Başlangıç	A,B,E,R
1. kaçış	E,R	A,B --->
1. kaçış sonu	E,R		A,B
Fener dönüyor	E,R	A <---	B
Fener döndü	A,E,R		B
2. kaçış	A	E,R --->	B
2. kaçış sonu	A		B,E,R
Fener dönüyor	A	B <---	E,R
Fener döndü	A,B		E,R
3. kaçış		A,B --->	E,R
3. kaçış sonu			A,B,E,R

Son olarak da sınır sütunundaki kişiler için gereken süreleri toplarsak toplam kaçış süresini buluruz.

Toplam süre = $2+1+10+2+2=17$

Böylece var saydığımız minimum süreyi sağlayan bir kaçış planı bulmuş olduk. 

Zamana karşı kaçış

Bir ailenin yolsuzluklarla suçlanan dört bireyi gece yarısı sınırdan komşu bir ülkeye kaçmaya çalışır. Fakat sınırdaki mayınları temizleme ihalesi zamanında bitmediğinden sadece iki kişinin aynı anda geçebileceği kadar bir şerit geçişe elverişlidir. Geçiş sırasında yolu aydınlatabilecek tek şey de bir adet el feneridir.  Her aile ferdinin sınırı geçiş süreleri aşağıda verilmiştir. Aynı anda karşıya geçen iki kişinin karşıya geçme süresi, daha yavaş yürüyenin geçiş süresine eşittir, yani B ile R aynı anda geçmeye çalışırsa bunu 10 dakikada başarabilecekler. Buna göre bu aile en kısa ne kadar sürede sınırı geçip adaletten kurtulabilir?

A: 1 dakika

B: 2 dakika

E: 5 dakika

R: 10 dakika

Not: Serbest şeritten fener yardımı olmaksızın geçmek mümkün olmadığından geride kalanları alabilmek için de fenerin birisiyle geri dönmesi gerekiyor. Öyle iman gücüyle diğer tarafa fırlatmak işe yaramaz. 

Dört tane 7 bir tane 1 (Çözüm)

Üniversitede veri sıkıştırma dersi alıyordum. Sanırım haftalık proje ödevlerinin ilkiydi, çünkü o zamanlar programlamadan pek anlamadığımdan dersi kısa süre içinde bırakmıştım. Ödevle ilgili bir şey sormak için dersi veren profesörün odasına gittim. Kapıyı çaldım, cevap beklemeden içeri girdim. Profesör Khalid Sayood masasının arkasında, kafasını önündeki kağıdın üzerine eğmiş bir şekilde düşünüyordu. İçeriye birinin girdiğini anlamış ama kim olduğuna bakma ihtiyacı duymamıştı bile. Problem ciddi olmalıydı.

Tam sorumu sormaya başlayacaktım ki Profesör Sayood kafasını kaldırmadan oldukça düzgün bir Türkçe ile konuşmaya başladı. Ben de saygımdan sorumu sormak yerine onu dinlemeye karar verdim. "Dört tane 7 ve bir tane 1 kullanarak 100 elde edebilir misin?". İlk anda aklımdan geçen "Hey dostum, burada soruları ben sorarım" repliğini yine saygımdan bir kenara bıraktım ve "Elbette" dedim. 

Masasına yaklaştım ve önündeki kağıdı alarak aşağıdaki eşitliği yazdım:

$(7 + \frac{1}{7}) \cdot (7+7) = 100$

"Şimdi yardımcı olma sırası sizde" diyerek sorumu sordum. Yardımcı da oldu ama ne yazık ki sorun profesör Sayood'da değil, bendeydi. Veri sıkıştırma dersini vermem de iki dönem sonraya kısmet oldu. 

  

Dört tane 7 bir tane 1

Kolay olmasına rağmen benim için ilginç bir anısı olduğundan aşağıdaki soruyla devam etmek istiyorum. Aynı anda üzerinde çalıştığım sorular için biraz zaman kazanmayı da planlıyorum. 

Dört adet 7 ve bir adet 1 rakamıyla standard dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) kullanarak 100 sayısını elde edin. Bütün rakamlar kullanılacak.

Örnek (tabii ki yanlış) : $7\cdot7 + 7\cdot7 + 1 = 99$

Başka bir yanlış örnek: $1 \cdot (\frac{7}{.7}) \cdot (\frac{7}{.7}) = 100$ ($.7$ yerine $0.7$ kullanmak lazım ama soruda $0$ rakamına izin yok.

Korsanlar (Çözüm)

Bu tip soruları çözmek için kullanılan standard çözüm yötemini deneyelim. Temel kendini diğer korsanların yerine koyacak ve sıra diğerlerine geldiğinde diğerleri ne yapardı diye düşünecek ve onlara daha iyi bir teklif yapmaya çalışacak. Bu sırada da bütün korsanların mantıklı düşündüğünü ve diğerlerinin de mantıklı düşündüğünü düşündüklerini var sayacağız.

Bu işlemi aynı şekilde ikinci ve üçüncü ve daha sonrakiler için de yapacağımızdan en iyisi en sondaki korsandan başlamak. O zaman, önce eşitlik durumunda oyunun devam ettiği versiyon için durumları ve verilecek kararları son korsandan geri gelerek yazalım:

Sıradaki Korsan	Kalan korsanlar	Paylaşım teklifi
Bekir	Bekir	Bekir bütün kutuyu alır, engelleyebilecek kimse kalmamıştır
Hüseyin	Bekir, Hüseyin	Bekir Hüseyin'in bütün tekliflerini reddeder ve kutuyu alır
Bülent	Bekir, Hüseyin, Bülent	Bekir, Bülent'in bütün tekliflerini reddeder ve Bülent öldürülünce de bir önceki yolu izleyerek kutuyu alır
Recep	Recep, Bekir, Hüseyin, Bülent	Bekir ve Hüseyin bu teklifi kabul etmezlerse öldürülüceklerini bildiklerinden Recep'in her teklifini kabul etmek zorundalar. Bunu bilen Recep de tabii ki bütün kutuyu kendine almayı ve başka kimseye zırnık bile koklatmamayı teklif eder.
Temel	Temel, Recep, Bekir, Hüseyin, Bülent	Temel iyi bir teklif yapamazsa oyunu Recep'in kazanacağını biliyor. İyi bir teklif de Recep dışında kalan üç oyu da almak demek. Bu durumda Temel, Bülent, Hüseyin ve Bekir'e birer altın verir ve gerisini kendine alır. Altın alan üç kişi de Recep'in daha kötü bir teklif yapacağını bildiklerinden bunu kabul edeceklerdir.

Bu şekilde Temel oyunu kazanacaktır.

Şimdi de beraberliğin de başarılı bir teklif için yeterli olacağı durumu inceleyelim.

Sıradaki Korsan	Kalan korsanlar	Paylaşım teklifi
Bekir	Bekir	Bekir bütün kutuyu alır, engelleyebilecek kimse kalmamıştır
Hüseyin	Bekir, Hüseyin	Bekir Hüseyin'in bütün tekliflerini reddeder ve kutuyu alır
Bülent	Bekir, Hüseyin, Bülent	Hüseyin, Bülent'in her teklifini kabul etmeli yoksa ölecektir. Bu durumda Bülent bütün kutuyu kendine alır ve oyun biter.
Recep	Recep, Bekir, Hüseyin, Bülent	Bülent, Recep'in tekliflerini kabul etmeyecektir. Bu durumda Bekir ve Hüseyin'in oylarını alabilmek için onlara birer altın vermelidir.
Temel	Temel, Recep, Bekir, Hüseyin, Bülent	Temel için sadece iki oy yetmekte ve bunları Bekir ve Hüseyin'e ikişer altın vererek alabilir. Geri kalanını da tabii ki kendine alacaktır.

Eğer çözümlerde hata olduğunu düşünüyorsanız bunu yorumlarınızda belirtebilirsiniz.