Toplamlar ve çarpımlar (Çözüm)

Çözümün daha kısa olması için sayıların toplamının 50'ye kadar olduğu durumları inceleyeceğiz. Bu değişiklik sorunun çözüm yolunu ya da cevabı değiştirmemektedir.

Pelin sayıları bilemediğine göre aşağıdaki sonuca hemen ulaşabiliriz:

1. Sayıların ikisi birden asal değil. 

Yani çarpım $p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere $p \cdot q$ şeklinde yazılabiliyorsa Pelin iki sayıyı da hemen bilecekti.

2. Çarpım bir asal sayının küpü değil. 

$p$ bir asal sayı olmak üzere eğer çarpım $p^3$ şeklinde olsaydı aranan sayılar $p$ ve $p^2$ olacaktı ve Pelin bunları hemen bulacaktı.

Şimdi Suna'nın yaptığı ilk yorum üzerine kafa yoralım. Suna'nın elinde öyle bir toplam var ki, bunu iki parçaya nasıl ayırırsak ayıralım Pelin bir sonuca varamıyor. Yukarıdaki 1 numaralı çıkarımı kullanarak şu sonuca ulaşırız:

3. Sayıların toplamı asal sayıların toplamı şeklinde yazılamıyor.

Eğer yazılabilseydi Suna, Pelin'in bu toplamı bilemeyeceğinden emin olamazdı. Peki bu bilgiyle hangi toplamları eleyebiliriz? Örneğin bütün çift sayıları eleyebiliriz. Genel bir ispatı henüz bulunamamış da olsa Goldbach Hipotezi bilgisayar yardımıyla $4 \cdot 10^{18}$'e kadar doğrulanmıştır ve bu da problemimizdeki 50 toplamına kadar da doğru olduğu anlamına gelir. Hipotez kısaca der ki, 2'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir.

Bir asal tek sayıdan 2 büyük sayıları da imkansız toplamlar kümemize ekleyebiliriz, çünkü bu sayılar da iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilmektedir (2 bir asal sayıdır). 

Şimdi bir tablo yapıp hangi toplamlarla çözüme devam edebileceğimizi görelim. Tabloda imkansız toplamları kırmızı, olası olanları da yeşille göstereceğiz.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Şimdi mümkün olan toplamları incelemeye başlayalım. Bu toplamları sayı çiftlerine ayıralım ve olası çarpımları listeleyelim. $K(T) = {P_{1}, P_{2},..}$ şeklinde listeler hazırlayacağız. Burada $K(T)$ toplamı $T$ olan sayı çiftlerinin oluşturduğu çarpımlar kümesini temsil edecek. Bu kümenin elemanları da $P_{1}, P_{2}, ...$ şeklinde sayılar olacak. 

K(11) = { 18, 24, 28, 30}
K(17) = {42, 52, 60, 66, 70, 72}
K(23) = {42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132}
K(27) = { 50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182}
K(29) = {54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210}
K(35) = {66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 264, 276, 286, 294, 300, 304, 306}
K(37) = {70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252, 270, 286, 300, 312, 322, 330, 336, 340, 342}
K(41) =  {78, 114, 148, 180, 210, 238, 264, 288, 310, 330, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418, 420}
K(47) = {90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552}

Pelin ikinci kez sıra kendisine geldiğinde toplamı bulabildiğine göre elindeki çarpım yukarıdaki kümelerin sadece birinde olmalı. O zaman birden fazla kümelerde bulunan ortak çarpımları yukarıdaki listelerden çıkaralım.

K(11) = { 18, 24, 28, 30}
K(17) = {52}
K(23) = {76, 112, 130}
K(27) = {50, 92, 110, 140, 152, 162, 170, 176, 182}
K(29) = {54, 100, 138, 154, 168, 190, 198, 204, 208}
K(35) = {96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 276, 294, 304, 306}
K(37) = {132, 160, 186, 232, 252, 270, 322, 336, 340}
K(41) =  {114, 148, 238, 288, 310, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418}
K(47) = {172, 246, 280, 370, 396, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552}

Bu işlemi bitirdiğimizde elindeki çarpımı gören Pelin, bu çarpımın hangi kümede olduğuna bakar ve böylece kümenin adında yazan toplamı bulur. Sıra Suna'ya geçtiğinde de aynı listeyi yapmış olan Suna çarpımı bulabildiğine göre elindeki toplam 17 olmalıdır çünkü sadece K(17) kümesinde tek eleman vardır, diğer bütün kümelerde birden fazla eleman kalmıştır. Örneğin Suna'nın elindeki toplam 23 olsaydı, 76, 112 ve 130'dan hangisinin doğru çarpım olduğunu bilemeyecekti. Bu durumda sadece Pelin toplamı bulabilirdi ama Suna çarpımı bulamazdı. 

Demek ki Pelin'in elindeki çarpım 52 ve Suna'nın elindeki toplam 17'dir. Bu da seçilen sayıların 4 ve 13 olduğu anlamına geliyor.