Küreleri $K_{1}, K_{2}, ..., K_{12}$ şeklinde gösterelim.
İlk tartıda farklı küreyi ya da farklı kürenin ağır mı yoksa hafif mi olduğunu bulamayız, fakat ikinci tartıda bu ikisinden birini bulmamız lazım. Bunun için önce basit bir iki duruma bakalım.
1. Örneğin farklı kürenin $K_{7}$ olduğunu biliyorsak tek tartıda bu kürenin ağır mı yoksa hafif mi olduğunu anlayabiliriz. Bu küreyi soldaki kefeye ve diğer onbir küreden herhangi birini de sağ kefeye koyarsak bir sonraki tartı diğer kür normal olduğundan aradığımız sonucu verecektir.
2. Bir diğer temel durum da şudur: Elimizde üç küre olsun ($K_{1}, K_{2}, K_{3}$) ve hafif küre de bu üçünden biri olsun. O zaman hafif kürenin hangisi olduğunu tek tartıda bulabiliriz. Bunun için $K_{1}$ küresini sol kefeye, $K_{2}$ küresini de sağ kefeye koyarız. Eğer sol kefe ağır basarsa hafif küre $K_{2}$'dir. Eğer sağ kefe ağır gelirse $K_{1}$ hafif küredir. İkisi de eşit ise o zaman aradığımız hafif küre tartmadığımız $K_{3}$ küresidir. Eğer bu üç küreden birinin ağır olduğunu biliyorsak yine aynı mantıkla farklı küreyi bulabiliriz.
Soldaki kefeye $K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}$ sağdaki kefeye de $K_{5}, K_{6}, K_{7}, K_{8}$ kürelerini koyalım.
Eğer kefeler aynı hizada kalırsa, yani iki grup da aynı ağırlıkta ise aradığımız farklı küre kalan dört küreden biridir. Yukarıdaki iki durumu da aynı anda elde edebilmek için kalan dört küreden üçünü tarttığımız normal kürelerden üçüyle karşılaştıralım. Sol kefeye $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ kürelerini koyalım, sağ kefeye de $K_{9}, K_{10}, K_{11}$ kürelerini koyalım. Eğer bu tartı da eşit çıkarsa farklı olan küre $K_{12}$'dir ve bunun hafif mi ağır mı olduğunu yukarıdaki gibi buluruz. İkinci tartıda sağ kefe ağır ya da hafif gelirse aradığımız kürenin ağır mı yoksa hafif mi olduğunu öğrenmiş olacağız ve elimizde üç küre kalmış olduğundan 2. duruma göre bu küreyi son tartıda bulabileceğiz.
İlk tartıda sol kefe ağır gelirse aradığımız küre ya ağır ve soldaki gruptadır ya da hafif ve sağdaki kefededir. Deminki analizde çözüm kolaydı çünkü hatalı kürenin içinde bulunduğu dört küre kalmıştı elimizde, şimdi ise sekiz küre arasında bir yöntem bulmamız gerekiyor. Bunun için de çözüm kolay. İkinci tartı için sol kefeye $K_{1}, K_{5}, K_{6}, K_{7}$ kürelerini koyalım ve sağdaki kefeye de $K_{8}, K_{10}, K_{11}, K_{12}$ kürelerini. Dikkat edilirse ağır taraftan üç küreyi dışarı çıkardık, yerine hafif taraftan üç küre aldık. Hafif tarafa da üç normal küre koyduk. Bu şekilde farklı küreleri içerebilecek iki grubu da üç ve bir kürelik iki gruba ayırmış olduk ama bir grubu tekrar tamamen kullandık. Eğer sol kefe tekrar ağır gelirse aradığımız küre ya ağır olan $K_{1}$ küresidir ya da hafif olan $K_{8}$ küresi. Hangisi olduğunu anlamak için $K_{1}$ ile $K_{12}$ kürelerini tartabiliriz.
Eğer ikinci tartıda sağ kefe ağır gelirse $K_{5}, K_{6}, K_{7}$ kürelerinden biri hafif olmalıdır, çünkü ilk tartıda ağır olan sol kefeyi bu sefere hafifletebilecek tek değişiklik sağ kefeden gelen kürelerdir. Sağ kefedeki tek değişilik ise normal kürelerdir. 2. durum analizinden biliyoruz ki, bu üç küre içinden hafif olanı tek tartıda bulabiliriz.
İkinci tartıda iki kefe de eşit çıkarsa demekki ağır küre $K_{2}, K_{3}, K_{4}$ kürelerinden biriydi. Yine 2. durum çözümünü kullanarak ağır küreyi son tartıda bulabiliriz.
Aşağıdaki tabloda çeşitli problem durumları listelenmiştir. Bu durumlar için kaç tartıda ($k$) kaç tane küre ($n$) çözümün bulunabileceği de yine aynı tabloda görülebilir.
İlk tartıda sol kefe ağır gelirse aradığımız küre ya ağır ve soldaki gruptadır ya da hafif ve sağdaki kefededir. Deminki analizde çözüm kolaydı çünkü hatalı kürenin içinde bulunduğu dört küre kalmıştı elimizde, şimdi ise sekiz küre arasında bir yöntem bulmamız gerekiyor. Bunun için de çözüm kolay. İkinci tartı için sol kefeye $K_{1}, K_{5}, K_{6}, K_{7}$ kürelerini koyalım ve sağdaki kefeye de $K_{8}, K_{10}, K_{11}, K_{12}$ kürelerini. Dikkat edilirse ağır taraftan üç küreyi dışarı çıkardık, yerine hafif taraftan üç küre aldık. Hafif tarafa da üç normal küre koyduk. Bu şekilde farklı küreleri içerebilecek iki grubu da üç ve bir kürelik iki gruba ayırmış olduk ama bir grubu tekrar tamamen kullandık. Eğer sol kefe tekrar ağır gelirse aradığımız küre ya ağır olan $K_{1}$ küresidir ya da hafif olan $K_{8}$ küresi. Hangisi olduğunu anlamak için $K_{1}$ ile $K_{12}$ kürelerini tartabiliriz.
Eğer ikinci tartıda sağ kefe ağır gelirse $K_{5}, K_{6}, K_{7}$ kürelerinden biri hafif olmalıdır, çünkü ilk tartıda ağır olan sol kefeyi bu sefere hafifletebilecek tek değişiklik sağ kefeden gelen kürelerdir. Sağ kefedeki tek değişilik ise normal kürelerdir. 2. durum analizinden biliyoruz ki, bu üç küre içinden hafif olanı tek tartıda bulabiliriz.
İkinci tartıda iki kefe de eşit çıkarsa demekki ağır küre $K_{2}, K_{3}, K_{4}$ kürelerinden biriydi. Yine 2. durum çözümünü kullanarak ağır küreyi son tartıda bulabiliriz.
Aşağıdaki tabloda çeşitli problem durumları listelenmiştir. Bu durumlar için kaç tartıda ($k$) kaç tane küre ($n$) çözümün bulunabileceği de yine aynı tabloda görülebilir.
| Problem | Çözüm |
| 1 adet farklı küre var ve bu kürenin ağır ya da hafif olduğu verilmiş | $n \le 3^{k}$ |
| 1 adet farklı küre var ve sadece farklı küre bulunacak | $n \le \frac {3^{k}-1}{2}$ |
| 1 adet farklı küre var ve sadece farklı küre bulunacak. Bu sırada normal ağırlıkta ekstra küreler kullanılabilir. | $n \le \frac {3^{k}+1}{2}$ |
| 1 adet farklı küre var. Farklı küre ve bu kürenin ağır mı hafif mi olduğu bulunacak | $n \le \frac {3^{k}-3}{2}$ |
| 1 adet farklı küre var. Farklı küre ve bu kürenin ağır mı hafif mi olduğu bulunacak. Normal ağırlıkta ekstra küreler kullanılabilir. | $n \le \frac {3^{k}-1}{2}$ |
Doğru ağırlıkta ekstra küreler kullanmak örneğin yukarıdaki orjinal sorunun içinde de saklı. Tabloya baktığımızda (ya da kendiniz de deneyebilirsiniz) dört küre için iki tartıda hatalı küreyi ve bu kürenin ağır mı hafif mi olduğunu ekstra küreler kullanmadan bulmanın bir yolu yok. Sorunun çözümünde ise ilk tartı eşit ise soru, dört küre içinden iki tartıda farklı küreyi ve bu kürenin ağır mı yoksa hafif mi olduğunu bulmaya dönüşüyor. Fakat bu sefer elimizde normal olduğu bilinen sekiz küre daha var ve bu sayede soru çözülebiliyor.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder