Soru ilk bakışta zor gözükse de yapılabilecek manevraların az olması çözümü yine kolaylaştırıyor. Çözümdeki en zor kısım ise paraların nasıl iki gruba ayrılması gerektiği.
Gruplamayı kolay hale getirmek için önce soruyu daha genel bir şekilde soralım. Elimizde N adet tura olsun. Genel çözüme ulaşmak için de önce $N = 1$ için durumu inceleyelim.
Şimdi gruplamayı yaptığımızı var sayalım ve iki gruptaki tura sayısını eşitleyecek manevrayı bulalım. Hangi grupta kaç tane tura olduğunu ve hangi paranın yazı ya da tura olduğunu bilmediğimize göre yapacağımız hareket bir grubun bütün paraları için aynı olmalı. Paraları ters çevirmekten başka mantıklı bir manevra da yok, yani yazılar tura, turalar da yazıya çevrilecek. İki grubu birden ters yüz etmek sadece gruplama aşamasında turaların eşit dağılması ve grupların eşit büyüklükte olması durumunda çalışacaktır. Bu yüzden bu ihtimali şimdiden eliyoruz.
Yukarıdaki çözüm doğrultusunda bir gruplama arayalım şimdi. Gruplama sırasında tura sadece bir grupta olabilir.
Örneğin birinci grupta 1 tura ve birden fazla yazı ve ikinci grup sadece yazılardan olsun. Birinci grubu ters çevirirsek birden fazla tura elde ederiz ama ikinci grupta hiç tura yok.
Birinci grupta birden fazla yazı ama hiç tura olmasın ve ikinci grupta bir tura ve yine birden fazla yazı olsun. Şimdi birinci grubu ters çevirirsek birden fazla tura elde ederiz ama ikinci grupta sadece bir tane tura var.
Bu denemeler ışığında şimdi şöyle bir gruplama yapalım. Birinci grupta sadece bir para olsun, kalan bütün paralar ikinci grupta olsun. Manevra olarak da birinci grubu ters çevirelim. Eğer birinci gruptaki para başlangıçta tura idiyse çevirdikten sonra iki grupta da hiç tura olmayacaktır. Eğer birinci grup bir yazı ile başladıysa çevirdikten sonra iki grupta da birer tane tura olacaktır.
Madem olası bir gruplama bulduk, şimdi bunu genelleyelim. Eğer N tura ile başlamışsak gruplardan biri N paradan oluşsun. Bu grupta $0<=k<=N$ adet tura bulunsun. Bu durumda diğer grupta $N-k$ adet tura vardır. Birinci grubu ters çevirdiğimizde bu grupta $N-k$ adet tura bulunacaktır ki bu da istediğimiz sonuçtur.
Yukarıdaki çözüm doğrultusunda bir gruplama arayalım şimdi. Gruplama sırasında tura sadece bir grupta olabilir.
Örneğin birinci grupta 1 tura ve birden fazla yazı ve ikinci grup sadece yazılardan olsun. Birinci grubu ters çevirirsek birden fazla tura elde ederiz ama ikinci grupta hiç tura yok.
Birinci grupta birden fazla yazı ama hiç tura olmasın ve ikinci grupta bir tura ve yine birden fazla yazı olsun. Şimdi birinci grubu ters çevirirsek birden fazla tura elde ederiz ama ikinci grupta sadece bir tane tura var.
Bu denemeler ışığında şimdi şöyle bir gruplama yapalım. Birinci grupta sadece bir para olsun, kalan bütün paralar ikinci grupta olsun. Manevra olarak da birinci grubu ters çevirelim. Eğer birinci gruptaki para başlangıçta tura idiyse çevirdikten sonra iki grupta da hiç tura olmayacaktır. Eğer birinci grup bir yazı ile başladıysa çevirdikten sonra iki grupta da birer tane tura olacaktır.
Madem olası bir gruplama bulduk, şimdi bunu genelleyelim. Eğer N tura ile başlamışsak gruplardan biri N paradan oluşsun. Bu grupta $0<=k<=N$ adet tura bulunsun. Bu durumda diğer grupta $N-k$ adet tura vardır. Birinci grubu ters çevirdiğimizde bu grupta $N-k$ adet tura bulunacaktır ki bu da istediğimiz sonuçtur.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder