Oynayan kişinin bize verdiği bilgilerin çözüm için karşılıkları aşağıdaki gibidir:
| İlk kez ikiye bölünce çıkan buçuğun değeri: |
$1$ |
| İkinci kez ikiye bölünce çıkan buçuğun değeri: |
$2$ |
| Sonuçtaki dokuzların her birinin değeri: |
$4$ |
Oynatan kişi oyunun sonunda bu değerlerin hepsini toplayarak oynayan kişinin aklında tuttuğu sayıyı bulur. Örnegimizdeki oyunu ele alırsak:
| İlk bölmede buçuk var: |
$1$ |
| İkinci bölmede buçuk yok: |
$0$ |
| Sonuçta iki tane dokuz var: |
$2 \cdot 4 = 8$ |
Bu çözümün nasıl bulunduğunu merak edenler için de iki adet çözüm vereceğim.
1. çözüm: Herhangi bir tamsayıyı $n$ bir tamsayı olacak şekilnde $4n, 4n+1, 4n+2$ ya da $4n+3$ şeklinde yazabiliriz.
Eğer tutulan sayı $4n$ şeklindeyse ilk tur işlemler sonunda $3 \frac{4n}{2} = 6n$ sonucu çıkacaktır ve tam bölünme sağlanacaktır. İkinci tur işlemlerden sonra ise $3 \frac{6n}{2} = 9n$ sonucu yine tam bölünerek elde edilecektir. Dokuza bölme işleminden sonra da oynayan kişi bize cevap olarak $n$ sayısını söyleyecektir.
Eğer tutulan sayı $4n+1$ şeklindeyse, ilk tur işlemler sonucunda $3 \frac{4n +1}{2} + \frac{1}{2} = 6n+2$ sonucu çıkacaktır ve bölme işlemi buçuklu olacaktır. İkinci tur işlemlerden sonra sonuç $3 \frac{6n+2}{2} = 9n + 3$ olacaktır ve bölme işlemi buçuksuz olacak. Dokuza bölme işleminden sonra oynayan bize yine $n$ sayısını söyleyecek.
Tutulan sayı $4n+2$ şeklindeyse, ilk tur işlemler sonucunda $3 \frac{4n+2}{2} = 6n + 3$ sonucu buçuksuz bölme ile elde edilecektir. İkinci tur işlemlerden sonra $3 \frac {6n+3}{2} + \frac{1}{2} = 9n+5$ sonucu buçuklu bir bölme ardından elde edilecek. Dokuza bölme işleminin sonucu yine $n$ olacak.
Son olarak tutlan sayı $4n+3$ şeklindeyse, ilk tur işlemler sonunda $3 \frac{4n+3}{2} + \frac{1}{2} = 6n + 5$ sonucu buçuklu bir bölme ile bulunacak. İkinci tur işlemler sonucunda ise $3 \frac{6n+5}{2} + \frac{1}{2} = 9n+8$ sonucu yine buçuklu bir bölme ile bulunacak. Dokuza bölme işleminde sonra yine $n$ sonucunu elde edeceğiz.
Bu incelemeden sonra şöyle bir çözüm tablosu yapabiliriz:
| 1. bölme buçuklu |
2. bölme buçuklu |
9'a bölmenin sonucu |
Tutulan sayı |
| Hayır |
Hayır |
$n$ |
$4n$ |
| Evet |
Hayır |
$n$ |
$4n+1$ |
| Hayır |
Evet |
$n$ |
$4n+2$ |
| Evet |
Evet |
$n$ |
$4n+3$ |
2. çözüm: Oynayandan aldığımız üç cevabın değerlerinin sabit olduğunu var sayalı ve bunları şöyle adlandıralım:
birinci bölmenin sonucu buçuklu = $a$
ikinci bölmenin sonucu buçuklu = $b$
sonuçtaki her bir 9 = $c$
Böylece tutlan sayıya $x$ dersek, $x = a + b + nc$ şeklinde bir denklem elde ediyoruz. Burada $n$ = sonuçtaki dokuzların adedidir.
Bu durumda 3 bilinmeyenimiz var ve bu sistemi çözmek için 3 denkleme ihtiyacımız var. Bu denklemleri de oyunu kendi başımıza 3 değişik sayı için oynayarak bulabiliriz.
1. oyun - Tutulan sayı 1 ise $1 = a + 0c = a$ ve buradan da $a = 1$ çıkar.
2. oyun - Tutulan sayı 2 ise $2 = b + 0c = b$ ve buradan da $b = 2$ çıkar.
Son olarak da 3'ten büyük bir sayı için bu oyunu oynayalım.
3. oyun - Tutulan sayı 7 ise $7 = a + b + 1c = 1 + 2 + c = c + 3$ ve buradan da $c = 4$ çıkar.
Ortaokuldayken kullandığım çözüm bu ikincisiydi ama kolayca görüldüğü gibi varsayımımın doğru olup olmadığını kontrol etmedim.
Oyuna genel olarak bakıldığında sonuçta başlangıçtaki sayı 9 ile çarpılıp 4'e bölündüğünden sonuçtaki her bir 9 için bir adet 4 eklememiz gerektiği sezgisel olarak bulunabilir. Buçuklu bölmelerden gelen 1 ve 2 değerlerinin güzelliği de, 1, 2 ve istediğimiz kadar 4 sayısını kullanarak sadece toplama işlemi ile bütün sayıları üretebilmemiz.
