Cutcake

Bu seferki soru da iki kişi (L ve R) arasında oynanan basit bir oyun. Başlangıçta M satır ve N sütundan oluşan dikdörtgen şeklinde bir pastamız var Aşağıdaki şekilde 2x2 şeklinde bir pasta gösterilmiş). L pastayı bir çizgi boyunca yukarıdan aşağıya doğru kesebilir, R de pastayı bir çizgi boyunca soldan sağa doğru kesebilir. Sırası kendisindeyken hamle yapamayan oyuncu kaybeder. Verilen bir MxN boyutlu pasta için oyunu kimin kazanacağını bulun.



2x2 oyun alanı

Örnek hamleler: Eğer oyuna L başlarsa yapabileceği tek hamle vardır. Ortadaki çizgi boyunca pastayı yukarıdan aşağıya ikiye kesmek. Bunun sonucunda iki adet 2x1 şeklinde pasta ortaya çıkar.



Birden fazla pasta oluştuğu zaman sıradaki oyuncu hamlesi için hamle yapabileceği istediği pastayı seçebilir. Diyelim R ikinci pastayı seçsin. Burada yapabileceği tek hamle vardır, o da pastayı ortadaki çizgi boyunca soldan sağa doğru iki parçaya bölmek.




Bu hamleden sonra elimizde üç adet pasta var ama L oyuncusunun yapabileceği hamle kalmadığı için oyunu R oyuncusu kazandı.

Küpten Takvim 2 (Çözüm)

Önce Roma rakamlarıyla elde etmek  istediğimiz sayıları listeleyelim:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX, XXXI

Bu listedeki sayıların bazıları tek bir işaretle gösterilebilirken bazıları için beş hatta altı işaret gerekmekte. Küplerin toplam oniki yüzü olduğuna göre bu sayıları oluşturan oniki işareti seçmeye çalışalım. İki küp kullanılacağından seçilen işaretler herhangi bir sayının ya başında ya da sonunda bulunmalıdır, aksi taktirde iki küp ile bu sayıyı oluşturamayız. Örneğin XXVIII sayısını oluşturmak için kullanılan işaretlerden biri XVI olamaz, çünkü bu durumda sayının başı için bir başka X işaretine ve sonu içinde II işaretine ihtiyacımız olur ve bu durumda üç tane küp kullanmak gerekir.

Tek işaretten oluşan sayıları yazabilmek için bu işaretlerin küplerin yüzlerinde olması gerekir. Bu nedenle I, V ve X işaretleri elimizde olmalı. Üç aynı işaretten oluşan sayılar için (III, XXX) çift işaretler de (II ve XX) elimizde olmalı. Bu işaretleri I ve X işaretlerinin olmadığı küplerde kullanırsak o zaman I, II, III, X, XX ve XXX sayılarını elde edebiliriz.

Şimdi bu bilgilere göre küplerin neye benzediğine bir bakalım.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
?	XX
?	?
?	?
?	?

Bu işaretlerle yazabildiğimiz sayıları listeleyelim:

I, II, III, IV, V, VI, X, XII, XV, XX, XXI, XXX

Görüldüğü gibi henüz oldukça az miktarda sayı yazabiliyoruz ama küplerde hala yedi boş yüzümüz var. Şimdiye kadar yazamadığımız en küçük sayı VII. Bunu yazabilmek için birinci küpte II işaretini kullanalım.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
?	?
?	?
?	?

Artık yazabildiğimiz sayılar şunlar:

I, II, III, IV, V, VI, VII, X, XII, XV, XX, XXI, XXII, XXX

Şimdi eksik olan en küçük sayı VIII. Bu sorunu halletmek için birinci küpte III işaretini kullanabiliriz.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	?
?	?
?	?

Yazılabilen sayılar:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, X, XII, XV, XX, XXI, XXII, XXIII, XXX

Yazamadığımız en küçük sayı IX. Bunu yazabilmek için yapabileceğimiz iki şey var. Ya ikinci küpte I işaretini kullanacağız, ya da iki küpten birinde IX işaretini. Eğer ikinci küpte I işaretini kullanırsak yazabileceğimiz sayılar şöyle olur:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XV, XX, XXI, XXII, XXIII, XXX

Bunun yerine örneğin birinci küpte IX işaretini kullanırsak çok daha fazla sayı üretebiliriz. IX işaretinin bir özelliği bu sırada işimize yarayacak. IX işareti ters çevrilirse XI olur ve bu da geçerli bir işarettir. Böylece bir taşla iki kuş vurma şansımız olacak.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	?
IX	?
?	?

Şimdi yazılabilen sayılar:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XV, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIX, XXX, XXXI

Sıradaki eksik sayı olan XIII için ikinci küpte X işaretini kullanalım.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	X
IX	?
?	?

Artık aşağıdaki sayıları yazabiliriz:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XV, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIX, XXX, XXXI

Sırada eksik olan XIV sayısı var. Bunun için ikinci küpte IV işaretini kullanabiliriz ama bu sayede sadece XIV sayısını elde edebiliriz, bundan başka bir katkısı olmaz. Eğer birinci küpte IV işaretini kullanırsak hem XIV hem de XXIV sayısını elde ederiz. Tabii ki bu yerleşimden sonra birinci küpte boş yer kalmayacak ve hareket esnekliğimizi kaybedeceğiz ama belki kalan boş yüzler yeterli olabilir.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	X
IX	?
IV	?

Elde edebildiğimiz yeni sayılar şunlar:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXIX, XXX, XXXI

Sırada eksik olan XVI, XVII ve XVIII için ikinci küpte XV işaretini kullanalım.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	X
IX	XV
IV	?

Böylece şu sayıları elde edebiliriz:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXIX, XXX, XXXI

Son yüzdeki işaretle elde etmemiz gereken sayılar ise:  XXVI, XXVII ve XXVIII.

Bunlar için XXV işaretini kullanmak yeterli olacaktır.

1. küp	2. küp
I	II
X	V
II	XX
III	X
IX	XV
IV	XXV

Artık başlangıçta aradığımız bütün sayıları yazabiliyoruz. Tabii bu çözümde duruma göre sadece tek bir küp kullanıyoruz. Eğer her sayı için iki kübün (küplerin birinin kullanılan yüzü haliyle boş olacak) de kullanıldığı bir çözüm varsa bunu öğrenmek isterim.