Kuruş tasarımı (Çözüm)

18 adet madeni para ile kolay bir çözüm var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Tabii ki çözüm bu kadar kolay olsaydı Gardner bu soruya kitabında yer vermezdi. 

Öncelikle 1 kuruş değerinde bir madeni paraya ihtiyacımız var, yoksa 1 kuruş ödeyemeyiz. Şimdi soruyu çözmeye tersten devam edelim. 50 kuruşumuz varsa, iki tane kullanarak 100 kuruş da elde edebiliriz. Hedeflediğimiz bütün kuruşları aşağıdaki tabloda gösterelim. Elimizdeki kuruşları mavi ile, bu kuruşları kullanarak elde edebileceğimiz diğer değerleri de yeşil renkle gösterelim. Bu şekilde bir elek yapmaya çalışalım.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Şimdi 1 kuruşu tabloda işaretleyelim

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1)

50 kuruştan büyük değerler kullanırsak 100'den büyük değerler de elde edeceğiz ve bu soruda buna gerek olmadığından eleğimizi idareli kullanalım ve 50 kuruşu eleğimize ekleyelim

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 50)

99'u elde etmek için 50 ile 49 kuruşu toplamak gerekecek.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 49, 50)

97 kuruş için iki ihtimal var: $50 + 47 = 97$ ya da $49 + 48 = 97$. 47 kuruş 48 kuruştan daha iyi bir seçim olacaktır çünkü bu şekilde 94, 96 ve 97 kuruş elde edebiliyoruz ama 48 kuruş ile sadece 96 ve 97, yani bu durumda eleğimiz bir fazla hedef değeri daha yakalayabiliyor.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 47, 49, 50)

95 kuruş elde etmek için de iki yol var: $45 + 50 = 95$ ya da $46 + 49 = 95$.

45 kuruşun doğru olduğunu varsayarsak

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 45, 47, 49, 50)

46 kuruş doğru ise

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 46, 47, 49, 50)

Son iki tablo arasında ikinciyi seçelim, çünkü 93'ü de elde edebiliyoruz. Karşılığında 45 feda edilmiş oluyor ama buna karşı bir sonraki eleman seçimi için daha çok alan kazanacağız.

91 değerini elde etmek için 41 yeterli olacaktır ($41 + 50 = 91$).

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 41, 46, 47, 49, 50)

89 için de $39 + 50 = 89$ eşitliğine göre 39 değerini alalım.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Aynı yönteme devam ederek $34 + 50 = 84$ ile 34 değerini tanımlayalım.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Şimdi yöntemimizden biraz sapıyor gibi gözüksek de aslında mantıklı bir hareket yapacağız. Şu anda eleğimizin sonundaki boşluklara bakarsak 79, 77 ve 76 sayılarını görüyoruz. Elimizdeki değerlerden bu şekle uygun bir grubu bulacağız. Eğer şimdiye kadar yaptığımız gibi $29 + 50 = 79$ diye düşünürsek o zaman elimizdeki sayılardan 50, 49 ve 47'yi kullanmış oluruz ve bu durumda sadece 76 ve 79 değerlerini elde edebiliriz. Fakat bunun yerine aradığımız deliklerle aynı yapıdaki 46, 47 ve 49 değerlerini alırsak $30 + 49 = 79$ ile yüksek değerli delikleri daha çabuk kapatırız. 30 için tabloya bakalım.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Bu durumda 24'ü alırsak eleğimize sadece 74'ü ekleyebiliriz, bunun yerine 25'i alırsak (bir önceki adımdaki mantıkla) hem 74 hem de 72'yi elde ederiz. O zaman yola 25 ile devam edelim.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Şimdi eleğimize 20 kuruşu ekleyelim.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

62, 63 ve 65 desenini daha önceki adımlardan biliyoruz. Bu durumda 15 yerine 16 kuruş kullanmak daha iyi.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Bir önceki adımdaki gibi, 8 yerine 9 kuruşu alalım.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 9, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

52 ve 53 için de 3 kuruşu ekleyelim eleğimize.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 3, 9, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Eleğimizdeki sonraki boşluklar 45 ve 38. 45'ten küçük eleğimizdeki kuruşlardan 41'i kullanarak ($41 + 4 = 45$) bu iki boşluğu da kapatabiliriz. Diğer hiçbir değerin bu iki boşluğu aynı anda kapatamadığına dikkat edelim.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 3, 4, 9, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Son olarak da en küçük boşluğu eleğimize ekleyelim: 11. Buna daha küçük değerlerle ulaşamıyoruz.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

(1, 3, 4, 9, 11, 16, 20, 25, 30, 34, 39, 41, 46, 47, 49, 50)

Böylece 16 değişik değer ile 1'den 100'e kadar her değeri elde edebildik.

Peter Wegner'a ait çözümde ise 16 adet madeni para ile 1'den 104'e kadar her değer elde edilebiliyor: 1, 3, 4, 5, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 47, 48, 49, 51, 52.