Monty Hall problemi (çözüm)

Bu soru bazı yerlerde Monty Hall Paradoksu diye de geçer. Paradox deyince aklımıza ilk önce çözümü olmayan önermeler gelir ama bu sorunun mantıksal ve matematiksel çözümü var. Paradoks olmasını sağlayan şey ise çözümün bir çok insanın beklediğinden farklı olması. Soruyu sorduğum çeşitli ortamlarda en zorlandığım olay ise çözümü insanlara anlatmak oldu. Bunun üzerine daha kolay nasıl çözülür diye düşündüm ve bu yazıda ulaştığım bazı çözümleri açıklamak istiyorum.

Çözümler:

Genellikle iki kapı kaldığı için şanslar zaten 50-50 deyip kapı değiştirilmiyor. 

Bu varsayım üzerine bile değişik mantıklar yürütülebilir. Örneğin, eğer bu varsayım doğruysa kapı değiştirilirse de kaybedecek bir şey yok, şanslar nasıl olsa eşit. Eğer varsayım yanlışsa değiştirerek kazanma şansı artabilir. Bu mantık da pek iyi değil çünkü varsayım yanlış olabilir ve değiştirmemek daha iyi olabilir. İlginç olan ise değiştirmem diyen insanlar genelde kapıyı değiştirmenin daha kötü olmayacağını sezgisel olarak anlıyorlar, çünkü ilk seçimde doğru kapıyı bulma şanslarının 1/3 olduğunu görüyorlar fakat iş değiştirmeye geldiğinde yukarıdaki eksik mantığı kullanmayı düşünmüyorlar.

Çok fazla matematik kullanmadan arkadaşlarla bu oyunu oynarken bugüne kadar anlatmaya çalıştığım çözümü anlatayım. 

Eğer ilk seçimimizde kalırsak doğru kapıyı ilk seferde bulmuş olma şansımız $\frac{1}{3}$ olacaktır ve bu olasılık sunucunun boş bir kapıyı açıp açmamasıyla değişmeyecektir. Boş bir kapının açılıp kalan kapıyı da seçim olarak sunması ise aslında bize bir kapı yerine iki kapı sunması demek ki bu durumda kazanma şansımız $\frac{2}{3}$ olur. Eğer boş kapıyı (ya da boş kapılardan birini) açmasa, bunun yerine doğrudan seçtiğimiz dışındaki iki kapıyı da bize verse, eğer bu iki kapının birinin arkasında ödül varsa kazandınız dese hiç düşünmeden iki kapıyı alırdık heralde. İlk seçimden sonra en az bir boş kapı kaldığına göre sunucu her zaman boş bir kapı açabilecektir. Yani kapıyı açmasıyla kapıyı açmadan diğer iki kapıyı bize vermesi arasında bir fark yoktur.

Tabii burada şöyle bir itiraz gelebilir. Sunucunun boş bir kapıyı açması neden bize ilk seçtiğimiz kapıyla beraber bu boş kapıyı vermesi anlamına gelmesin? Bu durumda ilk seçimde diretirsek kazanma şansımız $\frac{2}{3}$ olur. Sunucunun her zaman boş bir kapı açabilecek olması ilk kapıdaki doğru seçim şansımızı değiştirmiyor. Yani bu iki olay birbirinden bağımsız. Bu nedenle sonuçta bize ilk iki kapıyı değil son iki kapıyı vermiş oluyor.

Bu açıklama bazı kişileri ikna edebiliyor ama boş kapının açılması ve ardından seçimin değiştirilmesiyle kalan iki kapının birden oyuncuya verilmesinin aynı şey olduğu herkes tarafından görülemiyor. Bu nedenle daha basit bir açıklama üzerinde çalışmaya devam ettim ve aşağıdaki çözüme ulaştım.

Kapıyı değiştirme stratejisinin başarı oranına bakalım. Eğer ilk seçimde doğru kapıyı bulmuşsak sunucu hangi boş kapıyı açarsa açsın değiştirdiğimiz anda yanlış kapıyı seçmiş olacağız. Bu iyi bir seçim değil. Eğer ilk seçimde boş bir kapı seçmişsek, sunucu için açacak tek bir boş kapı kalır ve kalan kapı ise bu durumda ödüllü kapı olur. Yani kapı değiştirme stratejisi için oyun şu şekle geliyor: Eğer ilk seçim doğruysa kaybediyoruz ama ilk seçim yanlışsa kazanıyoruz. İlk seçimin doğru olma şansı $\frac{1}{3}$ ve yanlış olma şansı ise $\frac{2}{3}$. Demek ki kapı değiştirmenin kazanma şansı $\frac{2}{3}$. Bu da yanlış varsayımla ulaşılan $\frac{1}{2}$ kazanma şansından bile daha iyi.

Bu analiz oyunu sadece bir aşamaya indirgediği için (kapıyı açıp göstermenin önemi yok artık) daha kolay anlaşılır olabilir. Çözümleri anlaşılmaz yapan şey sanırım insanlardaki boş kapıyı açıp göstermenin ilk seçimin doğruyu bulmuş olma şansını değiştirmiş olabileceği sanrısı. Böyle sanan kişiler boş kapı açıldığı anda ilk seçimin başarı şansının $\frac{1}{2}$ olduğunu düşünüyorlar. Sunucu ilk seçim ne olursa olsun boş bir kapı açabileceğinden, kapı açıldıktan sonra ilk seçimin başarı şansında bir değişiklik olmuyor.

Bunları bir simülasyonla göstermek belki daha ikna edici olabilir diye düşündüm. Bu linkte javascript ile yazdığım bir program var. Bu program oyunun iki değişik türünü otomatik olarak oynuyor ya da kullanıcıya oynatabiliyor. Oyun alanının üzerinde kaç tur oynandığı ve kaçında ödüllü kapının bulunduğu ve kaçında bulunamadığı yazıyor. Oyun alanında başta üç siyah (kapalı) kapı görünüyor. Bu kapıların birinin üzerine tıklandığında o kapının üzerinde soru işareti beliriyor. Bu o kapının yarışmacı tarafından seçildiğini gösteriyor. Hemen ardından sunucu bir kapıyı açıyor ve bu kapı da kırmızı gösteriliyor. Oyuncu son seçimini yaptığında arkasında ödül olan kapı yeşil renkle gösteriliyor ve tahminin doğru ya da yanlış olmasına göre skorlar güncelleniyor. Oyun türleri oyun alanının altındaki kontrollerle seçilebiliyor. Manuel seçimde kullanıcı bütün seçimleri kendi yapıyor, yani sorudaki gibi oyunu sunucuya karşı kendisi oynuyor. Simülasyon modunda program kendi kendine rasgele seçimlerle bin kere bu oyunu oynuyor ve her seferinde sunucunun hareketinden sonra seçimini değiştiriyor. Simülasyon modundayken "yeniden başlat" tuşuyla simülasyon seçili parametrelerle yeniden başlatılabiliyor. Simülasyon sırasında adımları takip edebilmek için adımlar arasındaki süre daha uzun seçilebilir. Bu durumda simülasyon tabii ki çok uzun sürecektir. Eğer adımlar arası 0 ms (hiç beklemeden) seçilirse simülasyon çok hızlı çalışıyor ama çizimlerde sorunlar çıkıyor (javascript ile imtihanım) ama skorlar doğru hesaplanıyor. Son olarak sunucunun davranışı için de iki seçenek var, bunlar da oyunun iki değişik türünü seçmeye yarıyor.

Birinci türde sunucu açacağı kapıyı oyuncu kapıyı seçtikten sonra yapıyor. Yani problemde verilen şekliyle oynanıyor. İkinci türde ise sunucu açacağı kapıyı en başta seçiyor. Sonra yarışmacı kapısını seçiyor. Eğer seçilen kapılar farklı ise sunucu kapısını açıyor ve yarışmacıya kararını değiştirme hakkını veriyor. Eğer seçilen kapılar aynı ise sunucu kapı açmıyor ve yarışmacıya tekrar kararını değiştirme hakkı veriliyor. Bu noktada yarışmacı kalan iki kapıdan birini seçebilir. Oyunun bu ikinci türünde yarışmacı ilk seçimini değiştirerek sadece yüzde elli ihtimalle kazanabilir.

İki seçimin de aynı olması demek yarışmacının ilk seçtiği kapının arkasında ödül yok demek. Bu durumda değiştirmek zorunda. Kısaca kapı değiştirme stratejisinin başarı ihtimalini hesaplamaya çalışayım.

Yarışmacının ilk seçimi	Sunucunun tepkisi	kazanma ihtimali	Açıklamalar
Ödüllü kapı	Önceden seçtiği kapıyı açabilecektir	0	Değiştirince kesinlikle boş kapı açacağından kazanma şansı bu durumda sıfırdır
Boş kapı	Önceden seçtiği kapıyı açabilecektir	$(\frac{2}{3})\cdot(\frac{1}{2})=\frac{1}{3}$	Boş kapı seçme olasılığı $\frac{2}{3}$, bu durumda sunucunun seçtiği boş kapıdan farklı olma olasılığı da $\frac{1}{2}$. Bu iki şart sağlandığında değiştirince kesinlikle ödüllü kapıyı bulacaktır.
Boş kapı	Önceden seçtiği kapıyı açamayacak	$(\frac{2}{3})\cdot(\frac{1}{2})\cdot(\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$	Boş kapı seçme olasılığı $\frac{2}{3}$, bu durumda sunucunun seçtiği kapıyla aynı olma olasılığı da $\frac{1}{2}$. Sonuç olarak sunucu kapı açmaz. Kalan kapılardan birinin ardında ödül vardır ve yarışmacının doğru kapıyı seçme şansı $\frac{1}{2}$'dir.

Son olarak kazanma olasılıklarını topladığımız zaman: $0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ sonucuna ulaşırız.

Monty Hall problemi

Aslında bu klasik problemin doğrudan çözümünü yazacaktım ama belki bilmeyenler vardır diye önce soruyu vermek istiyorum. 

Bir yarışma programına yarışmacı olarak katıldınız. Sunucu size üç kapı gösteriyor ve anlatmaya başlıyor. "Bu kapıların birinin arkasında büyük ödül var ve diğer ikisinin arkasında hiçbir şey yok. Hangi kapının arkasında ödül olduğunu biliyorum. Bir kapıyı seçip bana gösterin."

Kapıların birini seçip gösteriyorsunuz ve acaba arkasında büyük ödül var mı diye heyecanla beklerken sunucu yine konuşmaya başlıyor.

"Oyunu şimdi biraz daha heyecanlı hale getirmeye ne dersiniz? Şimdi kalan kapılardan arkasında ödül olmadığını bildiğim bir tanesini rastgele açıp size göstereceğim."

Sunucu diğer iki kapıdan birini açar ve arkasında gerçekten de ödül filan yoktur. Konuşmaya devam eder.

"Şimdi size bir şans daha vermek istiyorum. İsterseniz seçiminizi değiştirebilirsiniz, yani kapalı olan diğer kapıyı seçebilirsiniz. Ya da ilk seçtiğiniz kapıda kalabilirsiniz. Kararınız?"

Evet, bu durumda seçtiğiniz kapıyı değiştirir misiniz yoksa ilk kapıda ısrar mı edersiniz?